ストーリー講座

サラさんと二歩の数学

サラさんと二歩

放課後の空き教室でサラさんとななみさんが将棋を指しています。
難解な終盤戦でサラさんの目があやしく光りました。
どうやら決め手を発見したようです。

サラさん
サラさん
神の一手キターーーーーー! えぃ!!
ななみさん
ななみさん
サラさん……それ……


どうみても二歩です。ありがとうございました。

ななみさん
ななみさん
二歩だよ~。1マス飛ばしの二歩は見逃さないよ
サラさん
サラさん
ななみさん、ななみさん。二歩って本当に反則なのかな?

サラさんはピンチになると詭弁で人をけむに巻くところがあります。ななみさんはサラさんのそういうところはもう慣れっこです。

ななみさん
ななみさん
二歩が反則っていうのは日本将棋連盟のホームページにちゃんと載ってるんだよ

二歩
同じ筋に歩がある時に、もう一枚歩を打つことはできません。下の図の左側のように同じ筋に歩が二枚ある状態を「二歩(にふ)」といいます。なお、下の図の右側のように、歩が成った「と」と同じ筋に歩を打つのは二歩ではありません。

引用:公益社団法人日本将棋連盟HP/将棋の基礎知識/5.反則について
サラさん
サラさん
ななみさんの理屈はよくわかった。でも……今回のは反則じゃないよ

二歩を反則じゃないと言い張るサラさんの屁理屈とは一体なんなのでしょうか?

二歩じゃないから反則じゃないもん!

サラさん
サラさん
だって二歩じゃないもん。二歩じゃないから反則じゃないもん

サラさんは盤の下のほうを指差します。そこには……。

ななみさん
ななみさん
ぎゃー。三歩だー。こんな歩を見落とすなんて……。うう……。私の負けでいいです
サラさん
サラさん
ななみさんは自分に厳しすぎる。結局、三歩は反則なの?反則じゃないの?

サラさんは色々と屁理屈をこねる子なのですが、相手が素直に負けを認めるのも面白くないようです。とにかく議論が大好きなだけなのです。

ななみさん
ななみさん
三歩は反則。これは間違いないよ
サラさん
サラさん
なんで?どういう理由で?

サラさんとななみさんは「三歩が反則である理由」について話し合ってみることにしました。

三歩が反則である理由

ななみさん
ななみさん
いろいろあるね
サラさん
サラさん
大きく分けると二つになるかな
三歩が反則であるこれだけの理由

①発見時に三歩であるということは、過去の一時点で二歩だった瞬間があると推測できるから
②三歩の中に複数個の二歩が含まれているから

ななみさん
ななみさん
わたしは①だけで納得できちゃうな
サラさん
サラさん
わたしは①の議論はかなり怪しいと感じる。現在、三歩だからといって過去に二歩をしたということは言えないんじゃないかな。状況証拠ではあるけど、直接証拠じゃないもの
ななみさん
ななみさん
十分に合理的な疑いだよ!なんだか刑事裁判の議論みたいになってきちゃったね。論拠が①だけだとSNSでサラさんみたいな人に延々と絡まれそう……
サラさん
サラさん
私は②のほうが納得できるな。全体じゃなくて部分を見れば反則だってはっきりとわかる
ななみさん
ななみさん
そういえば、三歩の中には何個の二歩があるんだろう?いち、にぃ、さん……
サラさん
サラさん
三歩の時は3個かー。じゃあ、四歩や五歩の時は何個二歩が隠れているのかな?

四歩は?五歩は?……九歩は?

ななみさん
ななみさん
だんだん手で数えるのつらくなってくるね
サラさん
サラさん
そういう時は組み合わせの公式を使うと便利だよ
組み合わせの公式

異なるn個からk個を選ぶ場合の組み合わせの公式は以下となる。

この公式にそって考えていくと次のような結論が得られる。
四歩の場合:(4×3×2×1)÷(2×2)=6個
五歩の場合:5C2=10個
六歩の場合:6C2=15個
七歩の場合:7C2=21個
八歩の場合:8C2=28個
九歩の場合:9C2=36個
※数列としてみても面白い関係がありそう!

サラさんは天才肌キャラクターという設定なので、数学も得意なのです!

ななみさん
ななみさん
なるほど。公式で反則の個数がわかるってわけだね。九歩の場合は36個も反則が隠れているんだ
サラさん
サラさん
ななみさん。それは違うよ。それは”二歩”の反則だけの場合だよ。七歩や八歩の時は色々だけど、九歩の場合の反則数は「36+1=37個」になる。並べてみるとわかりやすい
これが「九歩」!まさに圧巻!

ななみさん
ななみさん
そっかぁ。九歩あったら必ず一段目にも置くことになるから「行き所のない駒」の反則も足さないといけないんだね!

図1は後ろに下がれない桂・香・歩を相手の陣地に打ちました。これでは次に行くマスがありません。これは「行きどころがない駒」の反則になります。

引用:行きどころがない駒(将棋情報局)
サラさん
サラさん
プロ棋士の公式戦で「三歩」になったらどうするんだろう
ななみさん
ななみさん
普通は三歩をしたほうが負けだと思うけど、二歩の時点で見逃した相手の棋士も駄目過ぎるから両方負けになっちゃうかも
サラさん
サラさん
反則の数だけ勝ち星・負け星が付いたら面白いかも。もし、九歩で勝負が付いたら……
ななみさん
ななみさん
相手の棋士は一気に37勝だ!一局で藤井君の連勝記録を抜いちゃうね!

サラさんとななみさんは、この議論の結果をまとめて「夏休みの宿題」のストックにすることにしました。二歩の話の中にこんなに面白い考え方が埋もれていたのですね!

(おしまい)

ミステリにおける犯人組み合わせ論(発展)

橋本は大学時代、ブログで「雪山の山荘における犯人の組み合わせ」について発表した記憶があります。たとえば「雪山の山荘で10人が閉じ込められ、次々と殺人事件が起こる」という設定の場合以下のようなパターンが多いです。

①10人の中で生き残った人のうちの誰かが犯人
②殺された人の中に犯人がいた
③犯人が複数いた。たいていは2人の共犯
④全員が犯人
⑤登場していない人物が犯人(アンフェアなので通常除外)

ただ、こういう議論って数学的に抜け落ちが多過ぎると思ったのです。
登場人物が10人の場合、犯人の可能性は共犯の組み合わせを考えると膨大な数に膨れ上がるのです。
単純に数え上げていくと、「犯人が0人の場合」「犯人が1人の場合」「犯人が2人の場合」……「犯人が10人の場合」でそれぞれの組み合わせを考えて足し上げれば、考えられる犯人の組み合わせ総数が求められます。

橋本は大学時代「登場人物がn人の雪山の山荘ものの場合、考えられる犯人の組み合わせ総数はいくらになるか」の公式を漸化式を使って導き出しました。興味のある方は解いてみてください。高校数学までの知識で答えが出せるはずです。

※筆者の橋本は結局は文系人間で数学をしっかりとやってきていないので、議論に間違いや抜け落ちがあるかもしれません。お気づきになられましたら、お問い合わせやツイッターなどでご指摘いただけると幸いです。

追記

より簡潔な考え方に気付いたので追記しておきます。(2018年8月5日)

参考文献、素材など

サラの柔らかな香車(橋本長道 集英社)
サラは銀の涙を探しに(橋本長道 集英社)

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